兄の文章 第3弾<分数どうしの割り算について考える>前編

  • 2014.03.29 Saturday
  • 19:49
前回と前々回の兄の文章は、手書きの紙を渡され文章をキーボードで打っていたのだが今回からワードで書いてパソコンメールで添付してきたのだ。それをコピーして載せているので格段に楽になった。実は最近パソコンを始めて、すごい勢いで使いこなしている。自分のブログを開設するよう勧めているので、近々兄本人のブログでいろいろな記事を発表すると思います。そのときは宜しくお願いします。さて、今回のテーマいったい何人の人が興味を持つのか。文章が長いので前編、後編に分けました。
それでは、以下兄の文章。 

        分数どうしの割り算について考える

始めに:何故、割り算なのに割られる数に割る数の逆数をかけなくてはいけないのか、その理由を明快に説明することは、マイナスとマイナスをかけるとプラスになるということを説明するのと同じくらい難しい。ちなみにこれにまつわるギャグを一つ紹介しておく。「それぞれ一万円ずつ借金がある男女が結婚、すると翌年一億円のダイアモンドをくわえた赤ん坊がうまれてきた」というもの。

割り算といえば、次のような、文章題(応用問題)が典型である。ここに6個のりんごがある。3人に平等に分けたら1人何個?

これは曖昧さのない理想的な文章題だ。りんごを分けるといった部分に、留意しておいて欲しい。もう一つ、文章題を示す。Aさんは、6個のりんごを、Bさんは、2個のりんごを、それぞれ持っている。今Bさんは、2個のりんごを箱に詰めました。Aさんも2個ずつ箱に詰めていきたいと思っています。さて、何個の箱が必要でしょう?

要するに、6個のりんごは、2個のりんごの3倍と言いたいのである。また、Aさんは、3箱 Bさんは、1箱持っているので、箱で比較しても3倍ということだ。3倍という代わりに6は、2を三つ分抱え込んでいると表現しても良い。そしてもはや、この文章題には、分けるとか割るとかの意味は一切含まれていない。そこが前の文章題と決定的に違うところである。さて、りんごの数を箱の数に置き換えることは、とてもクレバーで、数学的でカッコいいことは、言うまでもない。更に2個のりんごを1個の箱に納めるのだから、2を1と見なしていると言っていい。ここが一番誤解されるところだが決して2=1と言っているのではない。確かに二個のりんごと一個のりんごは、絶対に等しくない。しかし二個のりんごは、次元が変わって、一個の箱に相当している。だから二個=一箱といっていいのではないか。昔、文房具屋さんに行って、この鉛筆12本下さいと言う代わりにこの鉛筆1ダース(実際、12本の鉛筆が一つの箱にはいっている)下さいと言ったものだ。鉛筆商人は、一本一本ではなくダースで取引しているはず。それらは、現実世界でごく自然に見られる風景。そして、次の様にイメージするのも良い。粘土で小さな球を二つ作る。そうしてその二つの球を合わせた、一つの大きな球にするというイメージだ。最初の文章題のように、分けるとか割ることを問題にしたものを、等分除と呼び、二番目の文章題のように、被除数(割られる数)は、除数(割る数)の何倍になっているかを求めるものを包含除と呼ぶ。

ともかく、除数を1と見なすというキーワードは、分数どうしの割り算を検討する上で極めて重要になってくるから、しっかり心に留めておいて欲しい。

さて、割る数が分数になると、ストラヴィンスキー作曲、火の鳥の中間部のように様相は一変する。例えば2÷(3/4)=だ。2÷4=なら直ぐ解かる。2リットルのコーラを4人で分けると一人当たり0.5リットル500ccということ。この例文は典型的な等分除だ。しかし2を(3/4)等分するなど意味がわからない。注:さて、これからは、不必要だが、誤解を避けるため分数は、全てかっこ閉じにした。

したがって、当然、等分除の考えは、放棄されなければならない。まだ分数どうしの割り算に入るのは、時期尚早。

次は、割り算とは一体何かという課題について考えを巡らせていきたいと思う。

割り算とは何か :ところで、パソコンには、画面の文字の大きさなど自由に変えられる機能がある。2倍、3倍あるいは、(1/2) (1/3) と言った風に。今、パソコンの画面 の左側に、長さ12cm、画面の右側に4cmの棒が立っていると仮定しよう。

パソコンの拡大、縮小機能を使って右の4cmの棒を1cmにしてみる。すると同じ画面にある左の棒の長さも変わってくることは、言うまでもない。

ここでこの機能の名前が長ったらしいから、短くef(expanding function)と命名しておく。このことは、あなたのパソコン(💻)で簡単に実験できる。縦長の棒の印があるキーボードのキーをクリックして画面に出す。

もう一つの棒は、エクスクラメーションマークあたりを使う。 (| !) 画面のサイズを20%から400%くらいまでいろいろ動かしてほしい。さて、前に戻るが、左の棒の長さは、3cmになっているはずだ。右を1cmにしたからこそ左と右の長さの関係は、3倍だということが明瞭になった。この時のefの縮小率は、25%,つまり(1/4)である。

この辺のあたりをもっと具体的に説明しよう。私のパソコンのOSは、ウインドウズ8,ワードというソフトの上でいろいろ私は、書いている。そのワードの画面の右下に横一直線のボリュームがあり、10%~500%、そのつまみでもって自由に調節出来るという仕組になっている。何を調節するのかというと、無論、その画面にある文字や図形の大きさである。まあ、100%を基準にすると500%は、5倍に拡大、10%は、(1/10)に縮小ということだ。実際、私のパソコンでは、上のカッコ内の縦棒の長さは、100%の時、約5mm500%の時は、約25mmである。

ちなみに10%時は、余りに小さくなり過ぎて計測不能。これでefがどんなものか大筋、理解していただけたと思う。

さて、efをどう行使しようと、ミスターではないが、3倍だけは不滅だ。

今はどうなっているのかよくわからないが、我々団塊の世代は、算数の時間、

分数はもちろん、比もよく習ったと記憶している。12:4=3:1というやつだ。

なぜここで比の考えを持ち出したかというと分数どうしの割り算の意味を解明するためには欠かせないと考えたからだ。

分数と比は、表裏一体をなしていて、目的は同じで、表現方法が違うと主張しても間違いではない。a:b という比に於いてaを前項、b を後項と呼んでいる。比とは、ab を比較するということだが、例えば124より8だけ多いという野球のスコアの様な見解は決してとることはなく、1243倍であるという見解をとる。比の値ということもよく言われる。それはちょっと、かしこまった言い方になるが前項は、後項の何倍になっているかということだ。もちろん逆に後項は前項の何倍と考えることもよい事だが、残念なことにあまり意味がない。前者だけで十分ということ。

ここで改めて念を押す、何故、二つの棒の比喩やパソコンの拡大機能や比の概念まで持ち出して回りくどい事を言うのか?それはひとえに、包含除の意味と構造を明らかにしたいからに他ならない。

今、目の前にa:b という比が与えられたとしよう。我々は、次に何をするか?比の値を求めようとするだろう。つまりa÷b だ。その答えは、取り敢えず(a/b) と分数で表現される。数学的には少し問題があるかもしれないが         a:b=a÷b=(a/b) と等式で結んでしまいたいくらいだ。それから、前項aと後項b の両方にゼロ以外ならどんな数(虚数はよく解からないが)をかけてもどんな数で割っても構わないという数学的大原則がある。(余談だが)換言すれば、イコール関係を順守すれば、等式の右辺も左辺もどんなに変形させてもよいわけだ。そういったことを繰り返し,代数学の先人達は,偉大な公式を発見してきた。二次方程式の根の公式などその最たる例である。

前項と後項に同じ数をかけたり同じ数で割ったりする行為は、先程定義した

efを行使するのと同じだ。二つの棒を含んだ画面の内容を2倍、3倍にしているのだから。また同じ数(公約数)で割るという行為は、a:b=(a/b)なのだから     (abが互いに素でない限り)約分そのものだ。*「互いに素」の意味は、グーグルで調べてください。

これらのことを踏まえ、そろそろ割り算の定義を記述していきたいと思う。
後編につづく

コメント
コメントする








    
この記事のトラックバックURL
トラックバック

calendar

S M T W T F S
     12
3456789
10111213141516
17181920212223
24252627282930
31      
<< May 2020 >>

selected entries

categories

archives

recent comment

links

profile

search this site.

others

mobile

qrcode

powered

無料ブログ作成サービス JUGEM